Juros Compostos

Para resolvermos cálculos com juros compostos utilizamos a seguinte fórmula:

M = C (1 + i)n

Vamos agora resolver algumas situações problema para entender melhor sua aplicação.

1. Lorena tinha algumas economias que totalizavam R$ 4.000, então decidiu aplicá-las durante 3 anos. O gerente lhe disse que a taxa seria de 10 % ao ano.

Agora, veja como é calculado o montante dessa aplicação.

Em primeiro lugar, vamos identificar as informações que a situação está nos fornecendo.

C = 4.000,00

i = 10% a.a. = 0,10 (lembre-se de transformar a taxa percentual em taxa unitária)

t = 3 anos

Utilizando a fórmula que foi citada acima temos:

M = C (1 + i)n

M = 4.000,00 x (1 + 0,10)3

M = 4.000,00 x (1,10)3

M = 4.000,00 x (1,331)

M = 5.324,00

2. Calcule o juro composto produzido por uma aplicação de R$ 1.700,00, a uma taxa de juro de 27 % a.a., durante 720 dias.

Vamos determinar o prazo, em anos.

t = 720 : 360 (precisamos dividir por 360 em referência ao ano comercial)

t = 2 anos

Agora podemos resolve, certo? Pois a taxa de juro e o prazo estão na mesma unidade de tempo.

Dados:

C = 1.700,00

i = 27 % a.a. = 0,27

t = 2 anos

Agora, veja como ficou o cálculo do montante:

M = C. (1 + i)n

M = 1.700,00 x (1 + 0,27)2

M = 1.700,00 x (1,27)2

M = 1.700,00 x (1,6129)

M = 2.741,93

Encontramos o montante, mas a pergunta da situação acima se refere ao cálculo do juro composto.

Então:

Se M = C + J, podemos afirmar que J = M – C

J = 2.741,43 – 1.700,00

J = 1.041,93

A partir da fórmula do montante M = C (1 + i)n, podemos deduzir a fórmula do capital:

Veja:

Como C (1 + i)n = M

C = M : (1 + i)n

E os juros podem ser calculados pela diferença entre o montante e o capital.

J = M – C

3. Um certo valor foi colocado em um banco, que rendeu R$ 40.000,00 a juros compostos de 2% a.m., durante 5 meses. Calcule esse valor.

Dados:

M = 40.000,00

i = 2% a.m. = 0,02

t = 5 meses

C = ?

C = M : (1 + i)n

C = 40.000,00 : (1 + 0,02)5

C = 40.000,00 : (1,02)5

Usando a calculadora científica para efetuar a potência (1,02)5 , proceda da seguinte forma: digite o número 1,02, logo em seguida aperte a tecla Yx em sua calculadora e depois o número que representa o expoente – neste caso, o número 5 -- e o sinal de igualdade. Pronto, aparecerá no visor 1,104080, ou seja, o resultado da potência (1,02)5 . Substituindo a potência pelo seu respectivo valor, temos:

C = 40.000,00 : 1,104080

C = 36.229,25

4. Em quantos meses um capital de R$ 200.000,00 produz um juro de R$ 38.203,20, quando aplicado a 6% ao mês, a juro composto?

Dados:

M = R$ 200.000,00 + R$ 38.203,20 = R$ 238.203,20 (capital + juro)

C = R$ 200.000,00

i = 6% ao mês = 0,06

n = ?

Cálculos:

M = C. (1 + i)n -- aplicando a propriedade simétrica da igualdade, se a = b então b = a.

C. (1 + i )n = M

(1 + i)n = M : C

(1 = 0,06)n = 238.203,20 : 200.000,00

(1,06)n = 1,191016

Para calcular o valor do expoente “n”, precisamos aplicar logaritmo a ambos os membros da igualdade.

log (1,06)n = log 1,191016

Aplicando a propriedade operatória dos logaritmos, log ba = a.log b, ao primeiro membro da igualdade, temos:

n.log 1,06 = log 1,191016

n = log 1,191016 : log 1,06

Usando a tecla log da calculadora científica para calcular os logaritmos, chegamos a:

n = 0,075918 : 0,025306

n = 3 meses

Logo, o capital deverá ficar aplicado durante três meses.

5. O capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos, rendeu R$ 165,00 após 4 meses. Qual foi a taxa de juros?

Então, vamos aos dados do problema.

C = 2.000,00

t = 4 meses

j = 165,00

M = 2.165,00 ( 2.000,00 + 165,00)

i = ?

Nesta situação, teremos que encontrar a taxa. Utilizando a fórmula que você já conhece e a calculadora.

M = C (1 + i) n

2.165,00 = 2.000,00 (1 + i)4

Aplicando a propriedade simétrica da igualdade.

2.000,00 (1 + i)4 = 2.165,00

Resolvendo a equação na incógnita i, temos:

(1 + i)4 = 2.165,00 : 2.000,00

(1 + i)4 = 1,0825

(1 + i) = 4√1,0825

Extraindo a raiz quarta de 1,0825 utilizando a calculadora, vemos que:

1 + i = 1,020015981

i = 1,020015981 – 1

i = 0,020015981

i = 2,0015981

Transformando a taxa unitária em percentual, isto é, multiplicando 2,0015981 por 100 e acrescentando o símbolo %, identificamos que:

i = 2%

(Material curso: https://moodle.ifrs.edu.br/)